Анализ методов оценки показателей структурной надежности

Глава ВКР: Исследование методов оценки показателей надежности систем электроснабжения

Как уже говорилось в первой главе, парк электрооборудования электрических сетей имеет большую долю оборудования, отработавшего установленный стандартами минимальный срок службы. Поэтому в последнее время в связи с участившимися авариями в электроэнергетической системе, все чаще встает вопрос оценки надежности и бесперебойности функционирования. Для решения этого вопроса проведем анализ методов оценки структурной надежности и на основе этого анализа выберем метод, позволяющий более эффективно, и с меньшими вычислительными затратами рассчитать основные показатели надежности, что позволит разработать мероприятия по повышению уровня надежности энергетических объектов. Из наиболее употребляемых в настоящее время методов расчета можно назвать экспериментальные методы, методы имитационного моделирования (статистические методы) и аналитические методы (рисунок 2.1). Экспериментальные методы разделяются на методы испытаний на надежность и на методы наблюдения. Методы расчета показателей надежности Экспериментальные Методы Методы Аналитические методы наблюдения имитационного методы моделирования (статистические методы) логико-вероятностные Испытания на методы надежность реального объекта таблично-логический метод Ускоренные Длительные испытания на основе испытания формирования логической функции отказа с помощью дерева отказа Исследовательские Контрольные метод пространства состояний на основе топологического анализа электрической схемы на связность и формирования минимальных путей и сечений Рисунок 2.1 – Методы оценки показателей структурной надежности Испытания на надежность, как правило, применяются для серийных изделий, выпускаемых в большом количестве. «Исследовательские испытания на надежность проводятся для выявления фактических значений показателей надежности. Контрольные – для проверки соответствия показателей надежности объектов требованиям ГОСТ, технического задания и т.д. По времени проведения испытания подразделяются на ускоренные и длительные. основной особенностью длительных испытаний является воспроизведение реальных условий эксплуатации объекта. Ускоренные испытания моделируют форсированные режимы нагрузки объекта с целью получения достаточной информации о надежности за максимально короткий срок по сравнению. с условиями эксплуатации» [69,75]. Проводить специальные испытания для систем электроснабжения, состоящих из очень большого числа разнородных элементов, в реальных условиях эксплуатации во многих случаях не представляется возможным, поэтому чаще всего применяются методы наблюдений, или как их еще называют ретроспективные методы. Они представляют собой извлечение и обработку информации из анализа работы действующего объекта. Стоимость работ, связанных с оценкой надежности эксплуатируемого электроэнергетического оборудования этими методами, в отличие от стоимости испытаний на надежность минимальна [75]. В основном это затраты на сбор и обработку статистических данных. В итоге показатели надежности объекта могут быть экспериментальными методами оценены, например, следующим образом [17, 18, 24, 26, 63, 75]. Статистически среднее время восстановления можно определить по формуле (2.2). Из статистических данных параметр потока отказов (t) определяется по формуле (2.3). Вероятность отказа в срабатывании коммутационного аппарата qB статистически определяется как отношение числа несрабатывания mУРЗА ( t ) устройств релейной защиты и автоматики и числа несрабатывания m B ( t ) самого коммутационного аппарата к общему числу требований M ( t ) на работу этих устройств за период наблюдений t q B* [mУРЗА ( t ) mB ( t )] . (2.8) M ( t) «Как показывает практика, недостаточный объём статистических данных отказов и восстановлений элементов электроэнергетических систем России не позволяет в полной мере использовать этот метод. Однако по результатам статистических данных, имеющихся в журналах технологических нарушений, можно сделать вывод, как влияют представленные выше факторы на события в системе, а также на надёжность её элементов и электроэнергетической системы в целом» [69]. По этой причине должна проводиться работа по сбору, обработке, хранению и использованию данных по надежности объектов систем электроснабжения. Методы имитационных испытаний (метод Монте-Карло или статистические методы) стал широко использоваться благодаря внедрению в практику расчетов компьютеров. Сущность метода состоит в том, что на вычислительной машине моделируется действительный ход процесса, и после того как над этим процессом проведены достаточно длительные наблюдения, делаются оценки показателей надежности. Таким образом, в этом методе моделирование рассматривается как последовательность реальных экспериментов. После серии опытов получают некоторую выборку случайных реализаций, которые затем подвергают стандартным процедурам статистической обработки. Основной недостаток метода Монте-Карло состоит в том, что требуется большое число испытаний, в результате этого затраты машинного времени на моделирование могут оказаться чрезвычайно большими, в особенности если в ходе вычислений встречается большое количество различных состояний системы, требующих сложного анализа условий отказа [9, 75]. Аналитические методы при наличии математического описания функциональных связей между отдельными факторами позволяют решить любую задачу по оценке надежности в электроэнергетике с требуемой точностью. Как правило на практике, многие методы, относящиеся к аналитическим, используют громоздкие описания функциональных связей, что требует довольно трудоемких, в ряде случаев, расчетов даже с использованием современных компьютеров. Тем не менее, из всего многообразия рассмотренных подходов, для оценки структурной надежности наиболее предпочтительными являются аналитические методы, которые рассмотрим поподробнее. Наиболее распространенные формулы, использующиеся для расчетов в аналитических методах следующие [5, 7, 12, 16, 23, 27]. Общая формула вероятности безотказной работы: t ( t ) dt P(t ) e 0 . (2.9) Среднее время безотказной работы: T P(t )dt . (2.10) При экспоненциальном распределении вероятность безотказной работы в течение времени t вычисляется по формуле P(t ) е t , а среднее время безотказной работы t 1 T e dt . «К основным аналитическим методам относятся: – логико-вероятностные методы [13, 55, 56]; –таблично-логический метод [23, 27, 52, 53, 57, 61]; – на основе формирования логической функции отказа с помощью дерева отказа [9, 39, 23]; – на основе топологического анализа электрической схемы на связность и формирования минимальных путей и сечений [9, 24, 27, 28, 61, 75]; – метод пространства состояний [9, 20, 37, 44, 47, 48, 49, 64-68]». Следует отметить, что деление методов расчета достаточно условно, т.к. в пределах каждого метода могут использоваться разделы из других методик. Логико-вероятностный метод использует функции алгебры логики. Здесь следует отметить работы И.А. Рябинина, Г.Н. Черкесова, Л.И. Волгина и других. «Функция алгебры логики использует систему двоичных переменных, т.е. есть величина, которая принимает два значения: «истина» и «ложь». Если х истинно, то х =1, если х ложно, то х=0. Переменная величина, которая принимает лишь два значения (1 или 0), называется двоичной. Функции, принимающие лишь два значения (1 или 0) и определяемы различными наборами двоичных аргументов, называются двоичными функциями или функциями алгебры логики (ФАЛ)» [8, 56]. Выполняются три основные логические операции: конъюнкция (соответствующая умножению событий в теории вероятностей), дизъюнкция (соответствующая сложению событий) и отрицание. Отрицание высказывания х обозначается как х . Логическое умножение высказываний х1 и х2 обозначается как х1 х2 или х1 х2 . Логическое сложение высказываний х1 и х 2 обозначается как х1 х2 или х1 х2 . При изучении надежности схем имеется понятие кратчайшего пути П успешного функционирования системы, т.е. конъюнкцию ее элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия функционирования. Такую конъюнкцию можно записать в виде l Xi , i K l где K l – множество номеров элементов X i , соответствующих данному пути l. Определить условия работоспособности для систем, имеющих небольшое количество элементов в структурной схеме, нетрудно. Если же рассматривать систему, имеющую в структурной схеме большое количество элементов, то составление функции работоспособности простым перебором становится нереальным. В связи с этим вводится понятие минимального сечения отказов системы, представляющей собой такое логическое произведение из отрицаний ее элементов, ни один из компонентов которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде функции Sj Xi , i KS j где K S j – множество номеров элементов X i , соответствующих данному сечению j . Таким образом, если структурно-функциональные связи системы можно представить, например, в виде совокупности элементов, связанных между собой последовательным, параллельным или иным способом, то работоспособное или неработоспособное состояние такой системы можно записать в виде функции алгебры логики. Логико-вероятностный метод применяется в основном для расчета надежности судовых электроэнергетических систем [55, 56], технологических схем атомных электростанций, включая схемы надежного питания установок собственных нужд. Достоинство данного метода – возможность реализации на компьютере. Недостатком является сложность расчета с увеличением схемы при неавтоматизированной реализации расчетов. Таблично-логический метод применяется в тех случаях, когда разнообразие отказов рассматриваемой системы велико. Здесь следует отметить работы Ф.И. Синьчугова, Ю.Б. Гука, В.И. Трубицына, В.Г. Китушина, М.Н. Розанова и других. С помощью таблично-логического метода можно выявить различные виды аварий, возникающие при наложении отказов элементов главной схемы на ремонтные и эксплуатационные режимы, различающиеся составом находящихся в работе элементов и их повреждаемостью. Для всех выявленных аварий вычисляется частота возникновения отказов и средняя длительность ликвидации аварии. «Искомые события и состояния связаны с совпадением отказов одних с неработоспособными состояниями других элементов. Составляется таблица расчетных логических связей отказов, режимов и аварий, в которой записывается, какие отказы к какой аварии приводят к каждому из режимов. Таблица представляет собой матрицу, где каждый столбец идентифицирует исходное состояние, а строка – состояние отказа элемента, т.е. каждая клетка таблицы представляет одно из возможных состояний системы. Построенные определенным образом таблицы позволяют организовать перебор таких состояний и совпадений. Формы таблиц могут быть различными, отражая специфику задачи. Вывод расчетных выражений для частоты и длительности аварий основан на последовательном применении формулы полной вероятности при рассмотрении множества возможных конъюнкций» [23, 57]. Достоинство данного метода – это наглядность определения разных видов аварий. Недостаток – возникают трудности при анализе сложных технических систем в связи с большим количеством переборов исходных состояний и состояний отказов, что трудно поддается формализации на компьютере. Метод, основанный на анализе дерева отказов, представляет собой систематический анализ событий, которые могут вызвать отказ системы, включая отказы подсистем и элементов, которые являются первопричиной отказов системы. В результате анализа строится так называемое дерево отказов (рисунок 2.2), структура дерева отказов позволяет определить алгоритмы, при помощи которых можно вычислить вероятность отказа системы [28, 75]. Некоторые понятия, используемые в методе дерева отказов, заимствованы из теории графов. В теории графов деревом называется такой граф (совокупность вершин и ребер), который является связным (исходя из любой вершины, можно достичь любой другой вершины, пройдя некоторую последовательность ребер) и не содержит замкнутых контуров (случай, когда некоторая последовательность ребер начинается и заканчивается в одной и той же вершине). Дерево с направленными ребрами (дугами), где из каждой вершины начинается одна единственная дуга, за исключением вершины, называемой корнем дерева, называют логическим деревом. Можно отметить следующие работы И.В. Белоусенко, А.П. Ковалева, Дж. Эндрени, Б. Диллона, Ч. Сингха и других. Деревом называют связный граф, не содержащий замкнутых контуров. Между любыми двумя узлами дерева можно построить только один единственный путь. Деревом отказов называют логическое дерево, в котором ветви представляют собой события, приводящие к отказу системы, подсистемы или элементов, а узлы –логические операции, связывающие исходные и результирующие события отказов. «Дерево отказов начинается с единственного события в корне дерева, называемого конечным событием; на следующем уровне появляются события, которые могут вызвать конечное событие; аналогичным образом дерево продолжается на последующих уровнях. Наиболее употребительными логическими операциями являются И и ИЛИ, значительно реже употребляется НЕ, определения и символы этих логических операций показаны на рисунке 2.3» [23, 24, 57]. Рисунок 2.2 – Дерево отказов Рисунок 2.3– Логические операции Процесс построения дерева отказов идет от конечного события сверху вниз через промежуточные к исходным событиям и состояниям, до тех пор, пока на всех уровнях дерева не останутся одни элементарные события и состояния. Анализ дерева отказов определяет наиболее важные отказы и наиболее слабые места системы. Недостатком данного метода является то, что расчеты надежности схем с большим количеством элементов могут быть затруднительны, так как для каждого интересующего состояния расчетной схемы должно строиться свое «дерево отказов», что приводит к большому количеству расчетов. Топологический метод на основе формирования минимальных путей и сечений (Ю.А. Фокин, В.В. Зорин, И.В. Недин, Р. Биллинтон, Р. Алан, Дж. Эндрени, В. Л. Прусс, В.В. Тисленко). Он состоит в следующем: реальная схема электроснабжения заменяется эквивалентной структурной: последовательно-параллельной (пути) и параллельно-последовательной (сечения). Пути – это совокупности минимального набора элементов, функционирование которых обеспечивает нормальное функционирование схемы от источника питания до узла нагрузки [64-68, 75]. Сечения – это совокупности минимального набора элемента, отказ которых в любой из совокупностей приводит к отказу рассматриваемого узла [64-68, 75], это основные сечения, т.е. по элементам, входящих в данные сечения, может передаваться электроэнергия в узел нагрузки. Помимо основных формируются и дополнительные сечения. «Дополнительные сечения определяются на основе информации об основных сечениях, в которые входят узлы схемы, и списков, отражающих зоны воздействия отказов элементы на узлы. Дополнительными сечениями называют совокупности элементов, по которым непосредственно электроэнергия в узел нагрузки не передается (или передается по части из них), но отказ, которых или сочетание отказа одних с преднамеренными отключениями других прекращает подачу питания в узел нагрузки на время оперативных переключений в сети, то есть при отключении одного или нескольких отказавших элементов может быть восстановлено питание нагрузки» [65]. Сложив показатели надежности основных и дополнительных сечений, определяются показатели надежности схемы относительно узла. Для небольших схем (до нескольких сот элементов) [67] пути и сечения определяются непосредственно по схеме. Алгоритмы строятся таким образом, чтобы вначале определялись все пути в схеме, представляя их в виде матрицы путей П, в которой строки соответствуют расчетным элементам схемы, а столбцы – минимальным путям. Если в i-й минимальный путь входит -й расчетный элемент, то на пересечении i-го столбца и -й строки ставится единица. В результате логического сложения строк определяются все основные сечения относительно рассматриваемого узла. Если строка матрицы П состоит из одних единиц, то соответствующий расчетный элемент образует одноэлементное сечение. Если в строках матрицы П имеется хоты бы одна составляющая, равная нулю, то в схеме не существует одноэлементных сечений и можно сразу перейти к отысканию двухэлементных. Двухэлементные сечения находятся путем логической суммы нескольких строк, в данном случае путем анализа сочетаний по две строки, т.е. если логическая сумма строк будет состоять из одних единиц, то образуются двухэлементные сечения. Аналогично определяются трехэлементные сечения, при этом анализируются сочетания трех строк. В этом методе обычно анализ заканчивается на рассмотрении двухэлементных сечений, т.к. в сложных схемах с большим количеством элементов число минимальных путей может быть очень велико, что усложняет расчеты даже с применением ЭВМ [66]. Методы определения основных и дополнительных сечений для больших схем электроснабжения достаточно сложные. С развитием ЭВМ были разработаны алгоритмы, позволяющие решать данную задачу. Тем не менее анализ алгоритмов [67, 75], которые были разработаны для расчетов на ЭВМ, показал ряд ограничений, затрудняющих их реализацию: одно и то же сечение может формироваться несколько раз; проверка графа на связность при переборе всех сочетаний отказавших элементов схемы, как основная операция в определении сечений, обуславливает большое время счета; формирование сечений по матрице минимальных путей является практически неэффективным из-за очень большого числа путей. Метод пространства состояний (Дж. Эндрени, Ю.А. Фокин, Б. Диллон, Ч. Сингх, В.И. Попков, К.С. Демирчян, В.Л. Прусс, В.В. Тисленко, М.Н. Розанов, Д.А. Арзамасцев, В.П. Обоскалов, Р. Биллинтон, Р. Алан и другие). Для того чтобы рассчитать надежность системы по данному методу, сначала анализируют состояние системы, которое определяется состоянием каждого элемента: элемент либо работает, либо отказал, или находится еще в каком-либо состоянии, например, в предупредительном ремонте. Состояния такой системы под воздействием потоков отказов и восстановлений могут меняться во времени. В общем случае можно говорить о некоторой системе, которая в процессе функционирования может менять свои состояния. Все возможные состояния системы образуют пространство состояний [75]. При использовании метода пространства состояния для описания процесса переходов системы из одного состояния в другое применяют модели Маркова. Строго обосновать применение этого метода можно при следующих предположениях: 1) если каждый из элементов системы имеет экспоненциальное распределение времени безотказной работы; 2) вероятность перехода из одного состояния в другое не должно зависеть от предыстории системы, т.е. от состояний, в которых система находилась ранее. На практике эти предположения могут не выполняться, но все равно при расчетах применяют указанные предположения [18, 19]. Предположение об экспоненциальном распределении интервалов времени, прошедшего до наступления определенного события, лежит в основе большинства технических расчетах. «Однако модель с постоянной интенсивностью переходов часто дает удовлетворительные результаты и в тех случаях, когда эти распределения в действительности не экспоненциальные, если рассматривается длительный промежуток времени функционирования системы» [8, 9, 75]. Если длительности состояний описываются экспоненциальным законом распределения, то процесс называется простейшим. Для него характерны свойства ординарности, отсутствия последействия и стационарности. Потоки событий, одновременно обладающие свойствами ординарности (события не наступают одновременно) и отсутствия последействия (события независимы), называются пуассоновскими, такое их название связано с законом Пуассона. Теоретические расчеты чаще всего производятся в предположении того, что потоки простейшие. В теории надежности широкое применение находят марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем [18, 19, 67]. Для непрерывного марковского процесса сумма вероятностей состояний для любого промежутка времени равна единице: p i (t ) 1 . i При изучении случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в теории надежности считают, что переходы системы из одного состояния в другое происходят под воздействием потоков отказов и восстановлений, а переходы из состояния S i в состояние S j описывают при помощи их интенсивностей ij (t ) . Интенсивность перехода определяется как p ij ( t ) ij (t ) lim . (2.11) t 0 t Из формулы (2.11) следует, что при малом t вероятность перехода pij ( t ) может быть определена по выражению pij ( t ) ij (t ) t . (2.12) Если интенсивности переходов ij (t ) не зависят от времени,т.е. ij const , то непрерывный марковский процесс называется однородным, т.е. интенсивности переходов постоянны в однородном марковском процессе [19]. Если ij являются функциями времени, то непрерывный марковский процесс называется неоднородным. Процесс изменения состояний можно проиллюстрировать с помощью графа состояний системы (рисунок 2.4). «Граф задается множеством точек или вершин и множеством линий или ребер, соединяющих между собой все или часть точек. Если ребра ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом, если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным» [32, 50]. Вершины графа обозначаются номерами состояний (в простейшем случае таких состояний будет два: 0 – система работоспособна, 1 – система в состоянии отказа), дуги графа показывают направления переходов системы из одного состояния в другое. Рисунок 2.4 – Граф состояний системы Если процесс является марковским, то его можно описать с помощью 1 дифференциальных уравнений, в которых неизвестными являются вероятности состояний p0 (t ) и p1 (t ) . При решении используются следующие условия: поток отказов простейший с интенсивность отказов const и восстановлений const , закон распределения времени восстановления и времени между отказами экспоненциальный. Для любого момента времени p 0 (t ) p1 (t ) 1 . Если поведение системы рассматривать в интервале времени [0, t t ], то тогда система в момент t t будет находиться в состоянии 0 и за время t отказов не наблюдалось, а также, если система в момент времени t находилась в состоянии 1 и за время t восстановление закончилось. Тогда используем формулу t t p0 (t t) p0 (t )e p1 (t )(1 e ), так как e t 1 t, e t t , то t p0 (t t) p0 (t )(1 t) p1 (1 e ). Проводя аналогичные рассуждения для второго состояния, получается второе уравнение p1 (t t) p1 (t )(1 t) p0 (t ) t. При t 0 можно получить систему дифференциальных уравнений: dp0 (t ) p0 (t ) p1 (t ) , dt dp1 (t ) p1 (t ) p0 (t ) . (2.13) dt Уравнения вида (2.13) получили название дифференциальных уравнений Колмогорова–Чепмена [50, 75]. К этим уравнениям добавляется уравнение для вероятностей состояний: p 0 (t ) p1 (t ) 1 . (2.14) Кроме того, должны быть заданы начальные условия. Тогда, решая любое одно дифференциальное уравнение из двух (2.13) совместно с уравнением (2.14) при заданных начальных условиях, можно определить вероятности состояний системы. Если граф ориентированный, то систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний можно непосредственно записать, пользуясь следующим правилом. В левой части уравнения записывается производная от вероятности рассматриваемого состояния во времени, в правой части– столько слагаемых, сколько дуг (входящих и выходящих) связано с данным состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивностей перехода, являющейся обозначением рассматриваемой дуги, на вероятность того состояния, из которого выходит эта дуга. Причем, если дуга для данного состояния (для которого составляется уравнение) является выходящей, то соответствующее ей слагаемое имеет знак минус, если дуга является входящей, то соответствующее ей слагаемое имеет знак плюс. При оценке структурной надежности систем с большим сроком службы рассматривают только асимптотические (стационарные) значения вероятностей ( t ). Тогда от системы дифференциальных уравнений переходят к системе алгебраических уравнений. Для этого необходимо все dpi (t ) производные приравнять к нулю ( 0 ) и произвести замену p i (t ) на p i dt Так, например, система уравнений (2.13) приобретает вид: 0 p0 p1 , 0 p0 p1 . Заменяя одно из этих уравнений выражением p 0 p1 1 , получаем систему из двух независимых уравнений с двумя неизвестными 0 p0 p1 p0 p1 1. (2.15) В результате расчетов получается Т p0 КГ , Т ТВ ТВ р1 КП , Т ТВ где К Г – коэффициент готовности, К П – коэффициент вынужденного простоя. «Основной областью применения метода пространства состояний является вычисления характеристик надежности ремонтопригодных систем. Основными показателями, определяемыми данным методом, являются вероятности, средние параметры потоков отказов и средние продолжительности отдельных состояний системы. После нахождений состояний системы, приводящих к ее отказу, вычисляются аналогичные показатели для состояний отказа системы в целом» [75]. В настоящее время в практике не существует такого математического метода, который было бы возможно использовать для реальных расчетов с учетом всех многогранных свойств системы электроснабжения. Перечисленные выше аналитические методы, как правило, опираются на большое число допущений и ограничений, сужающих область их использования. К общим недостаткам перечисленных выше методов можно отнести то, что для решения задач надежности нужно затратить большое количество времени, что увеличивает трудоемкость задачи, поэтому необходимо применять методы, позволяющие с меньшими вычислительными затратами решать соответствующие задачи. Развитие вычислительной техники поставило перед электроэнергетиками задачу пересмотреть существующие методы с точки зрения их использования в математическом обеспечении автоматизированных систем управления. Оказалось, что многие методы, несмотря на их изящество и эффективность при решении без ЭВМ частных задач малой размерности, мало пригодны для практических задач большой размерности, т.к. они, в частности, трудно формализуемые. На первых порах развития теории надежности для анализа энергосистем получили широкое применение те методы, которые были разработаны общей теорией надежности и направлены, как правило, на выполнение ручных расчетов. Сюда следует отнести логико-вероятностные, таблично-логические, метод «дерева отказов». Специфика энергосистем потребовала разработки алгоритмов и программ, предназначенных для выполнения расчетов на ЭВМ без вмешательства или с минимальным участием человека. Наиболее пригодным для расчетов на компьютере из числа методов, получивших широкое развитие, является метод минимальных путей и сечений и метод пространства состояний, которые дополняют друг друга и позволяют учитывать надежность коммутационной аппаратуры. Практически во всех данных методах присутствует анализ вероятностных состояний системы. Достаточно полно эти общие свойства описываются методом пространства состояний. Проведя анализ различных методов расчета показателей надежности, и рассмотрев достоинства и недостатки каждого метода, в данной работе выбираем метод пространства состояний, как основополагающий для количественной оценки надежности схем электроснабжения, как наиболее удобный для практического применения по условиям полноты учитываемых факторов и наиболее поддающийся формализации при машинной реализации. В связи с этим, рассчитаем показатели надежности методом пространства состояний.

---